便利な倍数判定法!

突然ですが問題です。「1134951は素数ですか?」

 

 

いかがでしょうか。すぐに素数ではないと断言することはできましたか?

(1134951は3の倍数なので素数ではありません。)

どうすればこの一見素数のように見える数字を素数でないと断言できるのでしょうか?

実は便利な「倍数判定法」というものがいくつかあります。

2の倍数かどうかは「一の位の数が偶数かどうか」ということで判断できます。これは日常的に身に着けているかもしれませんね。

それでは3以上の倍数判定法をいくつか紹介します。

3の倍数:各桁の数の和が3の倍数

4の倍数:下2桁が4の倍数

5の倍数:一の位が0か5

6の倍数:2の倍数かつ3の倍数

などなどです。7以上に関してもあるので気になる人は調べてみてください。

さて、本当に以上の判定法は正しいのか……特に3の倍数の判定法は納得し辛いのではないでしょうか。

では、3の倍数判定法について証明していきましょう。

証明

3桁の数(Aと呼びましょう)について調べます。

a,b,cを0以上9以下の整数とします。

この時a,b,cを用いてAは

A=100a+10b+c とあらわすことができます。

これを少し変形していきます。

A=100a+10b+c
=(99+1)a+(9+1)b+c
=(99a+9b)+(a+b+c)
=3(33a+3b)+a+b+c

このように変形できました。3(33a+3b)の部分は33a+3bが整数であり、3の倍数なので当然3の倍数です。よって、Aが3の倍数であるかどうかはa+b+c(各桁の和)が3の倍数かどうか次第ということになります。たとえAが4桁以上になった場合も同じように証明が可能です。

整数問題を扱う際にもすごい威力を発揮する倍数判定法。ぜひとも身に着けてください。

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